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標題:
高中數學~信心水準
發問:
甲,乙兩校各有2000名學生. 某機購針對A事件,用問卷調查此兩校部份的學生,得到以下資訊: 在95%的信心水準下,甲校的信賴區間為[ 0.488 , 0.552 ] , 乙校的信賴區間為[ 0.288 , 0.352 ]. 則下列選項哪些正確(複選)? (A) 此次調查中, 甲校的贊成率比乙校高 (B) 如果將甲,乙兩校抽樣結果合併計算, 贊成率會超過42% (C) 如果將甲乙兩校合併計算, 抽樣誤差仍為3.2% (D) 如果甲校後來發現有10份問卷原本是贊成的, 但被誤記為反對, 則更正後重新計算的抽樣誤差,會比3.2%還大 (E) 如果調查甲校的全體學生, 贊成率一定會超過25% .
最佳解答:
甲乙兩校各2000人 95%的信心水準下(正負2個標準差) 甲校的信賴區間為[ 0.488 , 0.552 ] , 標準差為(0.552-0.488)/4=0.016 甲校的贊成比率是(0.488+0.552)/2=0.52 0.016^2=0.52*0.48/抽樣人數^2 抽樣人數為975人 其中贊成者有507人 乙校的信賴區間為[ 0.288 , 0.352 ] 標準差為(0.352-0.288)/4=0.016 乙校的贊成比率是(0.352+0.288)/2=0.32 0.016^2=0.32*0.68/抽樣人數^2 抽樣人數為850人 其中贊成者有272人 (A) 甲校的贊成比率是(0.488+0.552)/2=0.52 乙校的贊成比率是(0.288+0.352)/2=0.32 所以甲校贊成率>乙校 (B) 抽樣人數合計1825人 贊成人數合計779人 贊成比率約為42.7% (C) 基本上不會 (因為不論是人數還是比率都調整過， 而且基本上人變成約2倍，分母就乘上4倍之多 然而比率上增加不超過4倍， 故算出的抽樣誤差會小於3.2%) 若真的想驗算，你會發現很難算→總之就是不可能剛好3.2% (D) 贊成人數變成517，比率約為0.53 0.53*0.47<0.52*0.48(越靠近0.5*0.5，值越大) 所以算出的抽樣誤差更正前>更正後 (E) 一定的，因為確定甲校的贊成人數為507， 就算剩下的人都反對，507/2000=25.35% 仍超過25% 答案為(A)(B)(E)
其他解答:
[基本上必須兩校之調查樣本均是採隨機抽樣而來; 而且假設 是100%回答率, 至少不能有太多不回答者; 並且, 假設受訪者 都是表示了其真實意見. 只有如此, 結果才有意義.] (A) 此次調查中, 甲校的贊成率比乙校高 兩信賴區間不重疊, 粗略地可以判定 "甲校贊成比例顯著高於乙校 ——在0.10顯著水準, 也就是90%信心之下. 若要在 0.05 顯著水準, 也就是 95%信心之下考慮這問題, 則需知 各校抽樣人數. 回答有根據一些計算信賴區間的方法反推樣本數, 可以用之於合併計算. 2014-10-22 09:17:17 補充： (C) 如果將甲乙兩校合併計算, 抽樣誤差仍為3.2% 粗略地計算, 由於如回答者計算的, 兩樣本似乎相差不大, 在 "兩校真實贊成率相同" 之假設下, 95% 信心水準的抽樣誤差約 3.2/√2 = 2.3個百分點. (用 % 當單位, 意義含糊. 原兩信賴區間揭示的抽樣誤差應說是 "3.2個百分點", 而非 "3.2%".)
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